دبیرعزیزمان خانم معماریان به وبلاگ هندسه فاطمه و مریم خوش آمدید
مدیریت وبلاگ بر عهده دو دانش آموز رشته ریاضی پایه دوم دبیرستان نمونه دولتی آمنه(س) میباشد. 

باعرض سلام و احترام خدمت بازدیدکنندگان و طرفداران وبلاگ هندسه ما.

ضمن تشکراز بازدید و نظرات مفید و سازنده شما دوستان به اطلاع میرساند:

ازاین پس برای دنبال مطالب این وبلاگ به آدرس زیر مراجعه فرمایید:

http://hendese20.mahtarin.com

باتشکر

 

[ ۱۳٩٠/۱٢/٢۳ ] [ ٤:۳٥ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

[ ۱۳٩٠/۱٢/۱۱ ] [ ۱٢:٠٦ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

 

 

 

 

 

 

[ ۱۳٩٠/۱٠/۱٠ ] [ ۸:٥٤ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

در (جیزه ) گیزا، غرب قاهره امروزی، سه از فراعنه چهارم به نامهای یا خئوپوس (Cheops) (به معنای کسی که به افق تعلق دارد)، خفرع (Khafre) یا خفرن (یعنی ) و منکورع (Menkaure) یا موکرینوس (به معنای ملکوتی) وجود دارد. هرمهای سه گانه، عظیم ترین و باشکوهترین بناهای دوره هستند که جزو عجایب هفت گانه نیز محسوب می شوند. این هرمها که از حدود سال ۲۵۵۰ پیش از میلاد ساخته شده اند، با رمز و پنهانی ارتباط پیدا کرده اند و نمادهای “حکمت ازلی”، “سرزمین ”، “پایداری ” و “فنون جادوگری” بودند. چیزه نقطه اوجی در تکامل شیوه معماری مقابر در دوره است که با ساختن مصطبه ها ، مقابر اولیه مصریان که غالباً آجری یا بودند ، آغاز و با پلکانی زوسر پیشرفت کرد. برای ساخت ، تعدادی شیب راهه آجر فرش احداث گردید و تخته سنگهای آهکی را که از معادن آن سوی نیل با قایق به آنجا منتقل می شدند، احتمالاً با استفاده از غلطکهای چوبی (در آن زمان هنوز چرخ اختراع بود) روی این شیب راهه ها به بالا منتقل می کردند.

 

در جلوی هر هرم، کوچکی قرار داشت که با گذرگاهی سنگفرش به معبدی دیگر که در دره نیل، در حاشیه مزارع واقع بود، می پیوست. ورود به واقع در دره از طریق مجرایی از رود نیل ممکن بود و هنگام جاری شدن سیل، با قایق به آنجا رفت و آمد می کردند.

 

در دو سوی ، هرمهایی کوچک با طرحی منظم و دقیق وجود داشت که ویژه اعضای خاندان بود و تعدادی مصطبه نیز به مقامهای بلندپایه درباری اختصاص داشت. جهت هرمهای سه گانه، شمالی – جنوبی است؛ هرمهای و خفرع نیز بر روی محوری مایل در امتداد یکدیگر ساخته شده اند.

 

در مورد استفاده از فرمهای هرمی شکل، “هلن گاردنر” در « در گذر زمان» چنین است:

 

وقتی پادشاهان سوم، اقامتگاه دایمی خود را به ممفیس انتقال دادند، تحت تأثیر هلیوپلیس بود، قرار گرفتند. این ، مرکز کیش نیرومند “رع”، خدای بود که بتش به صورت یک سنگ هرمی شکل بنام بن بن ساخته شده بود. در دوران سلسله چهارم، فراعنه مصر، خود را فرزندان رع نامیدند و به همین علت از آن پس کوشیدند او را بر روی زمین مجسم کنند. بنابراین، فراعنه دیگر، فاصله ای با انتقال از به مجود و رع در سنگ هرمی شکل “بن بن” تا به نگهداری از و جسم خداگونه خودشان به همان طریق مشابه در درون های هرمی شکل نداشتند.».

 

هزاران سال از عمر اولین هرم فراعنه که به دستور جوزر (Djoser) , دومین از سلسه سوم فراعنه ساخته شد, می گذرد.

 

بنای این اهرام که به عنوان یکی از عظیم ترین عجایب هفت گانه به شمار می آیند تا امروز نیز یکی از شاهکار های تکنیک مهندسی, طراحی و معماری محسوب می شوند. ین اهرام از۲۰۰ سال پیش مورد کاوش های فراوانی قرار گرفته و در طول این سال ها بسیاری از گنجینه های آن به سرقت رفته است. در مورد ساخت بنایی چنین عظیم که ساخت آن۵۰۰ سال به طول انجامید, سوالات بسیاری بی جواب مانده است.

 

اما آنچه از کل این سوالات مشهود است این که همگی در پی یافتن پاسخ این سئوال هستند که: این مصر بود که اهرام را ساخت یا را؟!

 

از سال۲۳۰۰ تا۲۷۰۰ قبل از میلاد(۴۰۰سال)،۸۰ هرم در مصر ساخته شد. اولین هرم بزرگ را دومین از سلسه سوم فراعنه بنام جوزر (Djoser) بر پا کرد و این سنت تا سلسه هجدهم ادامه یافت. بعد از آن تا بیست و پنجمین دیگر هرمی ساخته نشد.

مصری ها زندگی کوتاه این جهان را فانی و را آغاز یک حیات نوین و جاویدان در دنیای دیگر می شناختند. به همین دلیل منازل خود را با مصالحی مانند خشت و گل و مقابر را از مصالح با دوامی مانند سنگ می ساختند. بر اساس اعتقاد و تفکر آنان هر انسان علاوه بر جسم دارای یک روح بنام «بع»، ویک پیکر شبه گونه بنام «کا» است. «بع» پس از در زمین مانده و هر شب به جسد باز می گردد ولی «کا» می تواند مابین این دوجهان در حرکت باشد. به اعتقاد اینان، شرط جاودانه بودن زندگانی آن بوده که بع و کا هر دو بتوانند جسد خود را شناخته و به آن بازگردند. به همین علت برای از بین نرفتن اجساد آنان را مومیایی کرده و کلیه اشیا و متعلقات آنان را در کنار شان قرار می دادند. هم چنین برای محافظت از جسد، مقابر را محکم و غیر قابل نفود می ساختند تا «کا» بتواند در آنجا سکونت کند و از بلاهای طبیعی و سرقت اموال در امان باشد. درهای کاذب در کنار مقابر به منظور ورود و خروج «بع» و «کا» ساخته شده بود تا آنها بتوانند تردد کنند.

 

هر چقدر مقام بالاتر بود، بزرگتری برای او ساخته می شد.

 

مصریان قدیم اعتقاد داشتند که فراعنه پس از به خدایی می رسند و بنابراین مقابرشان می بایست بسیار عظیم و غیرقابل نفوذ ساخته می شد. چهار مثلث جانبی هرم در به گونه ای طراحی شده اند که پرتوهای خورشید بر جسد تابیده شود و رابطه جاودانی او را با خدای که «رع» نام دارد، حفظ کند. در کنار این اهرام مقابر کوچک تر مکعب شکلی بنام «مصطبه» (Mastababa) به تعداد زیادی ساخته شده است. فراعنه مراسم خاکسپاری خود را به شکل یک سنت ملی درآورده بودند به طوری که ، و تفکر مصریان آن زمان به شدت به سمت پرستش آنان سوق یافته بود.

 

اولین هرم

 

در حدود۲هزار و۶۳۰ سال قبل از میلاد فرعون «جوزر» تصمیم گرفت تا اولین هرم غول پیکر را به عنوان مقبره خود کند. معمار و مغز متفکر طراحی این مقبره غول پیکر، راهب و ساز معروفی بنام ایم هوتپ (Imhotep) بود. مکان این مقبره در۱۰ مایلی فینکس در محله ساکارا و۶۱ متر بالاتر از شن های روان صحرا در کنار رود نیل تعیین و کار نقشه برداری، احداث کانال های آب و حمل سنگ های آهکی و گرانیت در فاصله۹۰۰ کیلومتری از معادن آغاز شد. در آن زمان اکثر جمعیت کشور که به ۲/۱ میلیون نفر می رسید جهت ساخت این مقبره بسیج شد. پس از تایید و تعیین مختصات جغرافیایی این مکان و انجام مراسم مذهبی- سنتی قربانی کردن، کار خاک برداری آغاز شد. این اولین و عظیم ترین ساختمانی بود که بشر توانسته بود آن را کند. هرم به صورت شش پله ای ساخته شد. مصریان اعتقاد داشتند روح فرعون به وسیله این پله ها به آسمان رفته و به می پیوندد. یک راه اصلی برای وارد شدن به آن و۱۳ در ورودی مجازی برای بازگشت بع و کا به آن ساخته شد. در این زمان نوشتاری خاصی برای ثبت موضوعات، سوابق، موارد اداری، نقشه ها، شماره گذاری و مشخصات مکان نصب سنگ ها و نظایر آن ابداع شد که برای نوشتن و موضوعات اجتماعی معمول به کار نمی رفت.

 

چگونگی ساخت اهرام

 

، مساح، سنگتراش، نجار، ملات ساز و سر کارگر از جمله افرادی بودند که در ساخت این شرکت داشتند. سنگ های بریده شده پس از شماره گذاری توسط سورتمه هایی که بر روی الوارهای موازی، شبیه تراورس های زیر راه آهن حرکت می کردند به سمت مکان ساختن هرم حمل می شدند. آنان برای روانکاری سورتمه ها بر روی تراورس ها از آب، خاک نرم و روغن استفاده می کردند.

 

در اکتشافات جدید بر روی این ، حدود۶۰۰ مقبره دیگر از کارگران نزدیک هرم خئوپس کشف شد. مطالعه بر روی اسکلت این افراد، ضایعات بسیاری در فقرات آنها بریدگی انگشتان دست و پا و نقص عضوهای شدیدتری را که به واسطه حمل سنگ های سنگین در آنها پدید آورده بود می داد. بیشتر ابزارهای اندازه گیری آن زمان مسی یا و دارای دسته چوبی بودند. ابزارهای اندازه گیری نیز شامل تراز، شاقول و امثال آن می شد. برای بالا بردن سنگ ها بر روی هرم از خاکریزهایی با شیب مناسب استفاده می شد. پس از پایان کار و نصب آخرین سنگ بر بام هرم، مراسم مذهبی و قربانی کردن حیوانات انجام و خاکریزهای بالای هرم تا۹ متر برداشته می شد. با استقرار داربست، کار اتمام و مسطح کردن و صیقل دادن سطح خارجی هرم به وسیله سنگ تراشان انجام شد. این عملیات تا پایین سطح هرم ادامه پیدا می کرد.

 

هرم توسط یک راهروی سربسته به رودخانه نیل متصل بود. این راهرو با چندین قسمت مختلف شامل ساحلی، راهروی سربسته، محل دفن کشتی های حامل جسد فرعون، مردگان، اهرام جانبی و پرستشگاه برای آوردن فرعون به مقبره اصلی در نظر گرفته شده بود.

 

خاکسپاری فرعون

 

زمانی که فرعون درسال۲هزار و۴۳۹ قبل از میلاد مُرد، کارگران هنوز مشغول فرش کردن کف معبد با سنگ های مرمرین سفید بودند. جسد فرعون سوار بر زورق شاهی شد. ملکه و پسرفرعون سوار بر زروق دیگری در این مراسم حضور داشتند. پس از ورود به اسکله معبد ساحلی اجزای کشتی از همدیگر جدا و در ششم هرم دفن شد.

 

قبل از دفن جسد فرعون، آن را به محلی در نزدیکی رودخانه نیل و مایعی به مغز وی تزریق کردند. سپس به وسیله چنگک از سوراخ های بینی آن را خارج و بعد کبد، شش ها، معده و روده هایش را از شکافی در قسمت چپ بدنش در آورده و هر عضو را جداگانه مومیایی و در کوزه های مخصوصی قرار دادند. بدین ترتیب فقط قلب در داخل بدن ماند. پس از کاربرد روغن ها و مواد متعدد دیگر و خشک نمودن جسد، آن را با رشته های پارچه ای پیچیدند، که در حین این کار و پس از هر بار پیچیدن طلسم مقدسی از طلا و جواهرات را میان آن می گذاشتند. بعد از آن کل جسد را آغشته به صمغ کردند. این عملیات بر روی سه تخت سنگی یک تکه به مدت۴۵ روز انجام شد. پس از انجام عملیات مومیایی، مراسم مذهبی انجام و جسد را با تابوت به اصلی و در تابوت سنگی خود قرار دادند و آن را با در سنگی اش پوشانیدند. کوزه های حامل اعضای بدن فرعون را در جعبه های چوبی قرار داده و آن را پایین تابوت سنگی گذاشتند. هم چنین در دو انبار وسایل شخصی، خوراک، پوشاک، زینت آلات، اسلحه و حتی وسایل سرگرم کننده نیز برای فرعون انباشتند. پس از اجرای مراسم مذهبی، کاهنان محل را ترک و با بستن درب های ورودی راه پشت سر مسدود و غیر قابل ورود شد. جسد فرعون در میان بیش از دو میلیون قطعه سنگ مدفون شد

 

اهرام ثلاثه

 

در ادامه سلسه پادشاهی فراعنه، اهرام دیگری ساخته شد. یکی از عجایب هفت گانه جهان «گیزا» بنام های خئوپس (Khufu) ، خفر (Khafr) و منکاری (Menkaure) واقع در چند کیلومتری جنوب شهر قاهره است. شاهکار تکنیک مهندسی، طراحی و معماری هستند. برش و اندازه گیری سنگ ها در حد اعجاب انگیزی دقیق بوده، به طوری که کوچکترین خطایی باعث بر هم خوردگی اشکال هندسی و حتی فرو ریختن بنا می شد. این بزرگترین بناهای ساخت بشر تاکنون هستند.

 

هرم خوفو

 

خوفو (خئوپس)، دومین پادشاه سلسله چهارم بود که از حدود سال ۲۵۵۱ پیش از میلاد به مدت نزدیک به ربع قرن بر مصر وی گیزا را در چهل کیلومتری شمال داشور، نزدیک قاهره مدرن و شهر تاریخی و کهن ممفیس، پایه گذاری کرد. این دارای پنج عنصر اصلی است: اهرام خوفو، خفرع و منکورع، تندیس و معبد دره ای هرم خفرع. از اهرام سه گانه چـیزه، هرم خـوفو، کهن ترین و بزرگترین است و ساخت آن به حدود سال ۲۵۷۰ پیش از میلاد باز می گردد. این بنای یادمانی سنگی بسیار عظیم, به «هرمی که مکان طلوع و خورشید است»، شهرت داشت.

 

به استثنای اتاقک تدفین، توده غول پیکری از بنایی با سنگ آهک یا کوهی از سنگ است که مطابق همان اصول ساختمانی هرم پله دار پادشاه زوسر در سقاره ساخته گردیده. لازم به ذکر است که تمامی سنگهای بکار رفته در ساخت اهرام، بدون ملات در کنار یکدیگر کار گذاشته شده اند.

 

زاویه شیب پهلوهای هرم خوفو ۵۴ درجه و ۵۴ دقیقه است که ضابطه ای برای ساخت هرمهای بعدی در مصر شد. طول ضلع هر قاعده این هرم ۳۶۴/۲۳۰ متر، طول هر یال ۲۱۷متر، بلندای اصلی آن حدود ۷۵/۱۴۵ متر و ‌ارتفاع کنونی آن حدود ۱۸/۱۳۷ متر است و قاعده هرم, ۳۷/۵ هکتار زمین را فرا گرفته است. در ساخت این بنای عظیم نزدیک ۰۰۰/۳۰۰/۲ قطعه سنگ در ۲۱۰ ردیف سنگ چین بکار رفته که هریک وزنی بین ۲ تا ۱۵ تن داشته اند (وزن متوسط سنگها ۵/۲ تن می باشد). در برخی منابع که در رابطه با ویژگیهای منحصر بفرد این بنای عظیم منتشر گردیده، جرم هرم خئوپس را برابر یکصد میلیونیوم کره زمین تخمین زده اند.

 

در زیر اهرام مصر در جیزه (واقع در جنوب غربی قاهره) مقبره های عجیبی کشف شد که تا زمان اکتشاف کسی از وجود آنها خبر نداشت. در یکی از این مقبره ها , که سرداب مانند است , استخوانهایی متعلق به انسان نیز به دست آمده است. حدود ۱۲ میلیون تن سنگ برای ساختن بنای اهرام فراعنه مصر به روی هم قرار گرفته تا عظیمترین کار دستی بشر در روی زمین خلق شود. برای یافتن مقبرههای احتمالی دیگر در اهرام ابتدا از طریق دوربینهای اتوماتیک مخصوصی , پرتوها و امواجی مشابه امواج رادار به نقاط مختلف هرم شد اما هیچ گونه موفقیتی به دست نیامد. سپس از طریق بررسی جسدهای مومیایی شده درون اهرام , سرنخهایی پیدا شد که در نهایت به کشف عجیبترین مقبره های خدایان مصر انجامید. این کشف غیرمنتظره باعث حیرت تمامی کاوشگران شد. در کنار یک قطعه سنگ عظیم کریستالی, راهرویی وجود داشت که دهانة آن بسته بود. این راهرو به ۳۰ متری عمق زمین میرسید. درب ورودی این راهرو درست در کنار یکی از کانالهایی قرار داشت که سالها قبل کشف شده بود. این کانال راهی بود که به سر مجسمة ۵/۱۴۳ متری “کافرن” پسر فرمانروای بزرگ مصر منتهی می شد .یک گروه کاوشگر و باستانشناس  عملیات کاوشگری و پژوهشی گستردهای را درون این کانال آغاز کردند . آنها ابتدا, با یک نردبان به عمق ۱۲ متری این کانال رفتند. در انتهای این کانال به مقبرهای رسیدند که در آن ۶ دخمة دیگر که در برابر یکدیگر حفر شده است , قرار داشت. این ۶ دخمه نیز مقبره بودند و در دوتای از آنها تابوتهای سنگی شگفت انگیزی قرارداشت . اغلب تابوت ها بدون تزئین بودند و کتیبه های آنها از بین رفته است. “راینه اشتادل من” باستانشناس ساکن در قاهره , پس از بررسیهای مختلف گفت این تابوتها متعلق به ۵۰۰ سال قبل از میلاد مسیح است و احتمالاً متعلق به ثرتمندانی بوده که اجازه داشتند تابوت بستگانشان را در زیر هرم قرار بدهند. البته این محوطه وسیع است و در آن, کانالی نیز برای رفتن به نقاط عمیقتر این مقبره ها وجود دارد.

***

مطلبی بود از معماری شگفت انگیز مصر تقدیم به خانم معماریان

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ۱۳٩٠/٩/٢٤ ] [ ۱٠:٠٥ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

[ ۱۳٩٠/٩/٢٤ ] [ ٩:٤٩ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

 

 

 

 

 

 

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٧:٢٦ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

چندین سال پیش چرالد اس هاوکینز ستاره و اختر شناس سرشناس و ایجاد کننده کرسی ستاره شناسی دپارتمان دانشگاه بوستون به بعضی از الگوهای برجسته حلقه های کشتزار که به شکل تئوری های هندسی شبیه شده بودند حالات و روابط خاص کمی و عددی میان نواحی مختلف دوایر ، مثلث و اشکال دیگر رو بیان می کردند توجه کرد . در یک حالت ( مطالعه موردی) برای مثال یک مثلث متوازی الاضلاع که بین دو دایره از داخل و بیرون محاط و محیط شده است در این حالت محیط دایره بیرونی دقیقا چهار برابر محیط مثلث داخلی است . سه الگوی ارائه شده دیگر نیز دارای روابط عددی دقیقی هستند . تمام آنها دارای یه نسبت diatonic یا نسبتی که یه حالت( مقیاس) از نوشته های موزیکال هستند .

این طرح ها یک توانایی منحصر بفردی را از دانش ریاضیات و هندسه خالقانشان نشان می دهد . هاوکینز دریافت که او می تواند از اصول اولیه هندسه اقلیدسی برای اثبات چهار تئوری که از روابط میان حلقه های کشتزار  و فضاهای خلق شده از آنها بوجود آمده اند استفاده کند . او همچنین با تحلیل و بررسی چهار تئوری فوق یه تئوری پنجم نیز کشف کرد .

این تئوری مشتمل بر دوایر متحدالمرکزی است که اضلاع یک مثلث را با تغییر شعاع خود لمس می کند .این تئوری هندسه بنا به گفته هاوکینز هندسه مخصوص حلقه های کشتزار را ایجاد کرده است . پنجمین تئوری حلقه های کشتزار شامل یک مثلث و دوایر متحدالمرکز مختلفی است که هم اضلاع و هم رئوس مثلث را لمس می کند .

مثلث های مختلف دایره های مختلفی ایجاد می کنند که منطبق بر این تئوری باشند . یک مثلث متساوی الاضلاع یکی از الگوهای حلقه های کشتزار را ایجاد کرد  سه مثلث متساوی الساقین یکی دیگر از الگوهای حلقه های کشتزار را ساختند . چیزی که بسیار عجیب است ان  است که همه این حالات هندسی ارائه دهنده نسبت موزیکال diatonic می باشند . به هیچ عنوان هیچ تئوری هندسی با موزیک رابطه نداشته بود . هاوکینز نتوانست مرجعی را بیابد از هندسه موزیکال استفاده یا نام برده شده باشد نه در هندسه اقلیدسی و نه در کتاب های دیگری که او بررسی کرده چنین حالتی پیدا نشده بود . حتی وقتی او این موضوع را با خوانندگان اخبار علمی و مدرسان ریاضی در میان گذاشت چنین موردی را در ریاضی گزارش نکردند .

بالاخره هاوکینز گزارش داد که در تاریخ جولای 1995 سازنده این اشکال هندسی در مزارع گندم انگلستان در میان دوجین طرح ایجاد شده از سال 1980 تا حال طرحی را ایجاد کرد که با اصل پنجم (stringent definitions ) هاوکینز سازگار بود . کار یا طرح ایجاد شده چیدمانی از هندسه اقلیدسی و نشانه های از یک توانایی منحصر به فرد در خم کردن گیاهان زنده بدون شکستن یا خرد کردن آنها  ترسیمی پیچیده و الگویی دقیق و با ابهاماتی زیاد در فهم و استثنائاتی قابل توجه و به روز بود .

توجه : پنجمین تئوری سازنده حلقه های کشتزار (The circle makers’ fifth theorem ) در مجله ملی مدرسان ریاضیات در انجمن مدرسان ریاضیات به چاپ رسیده است .

توضیح مختصر : یکسری نوت هایی   Noteدر موسیقی به یکدیگر بوسیله نسبتی خاص وابسته اند . این نسبتها فضای بین هر نوت را محاسبه می کنند و نوتها را در یک گردهمایی ایجاد می کنند . البته برای گوش انسان نوت ها صدا ایجاد می کنند اگر آنها به صورت مساوی فضا داشته باشند . نمودار زیر نشان می دهد که حقیقت درک نسبت ها بسیار پیچیده است . برای مثال نسبت بین ((سی و دی )) در جدول 9/8 می باشد :

موزیسین ها از نوت های موسیقی در اکتاوهای اولیه برای کدینگ پیام هایشان در ساخت موسیقی خود استفاده می کنند . سازنده طرح های حلقه های کشتزار  از سال 1988 از کدینگ در ارائه پیام های خود بوسیله نسبت دایاتونیک برای ایجاد ست هایی از نوت ها استفاده می کرد . در این نوشته از توضیح مفصل این نسبت صرف نظر می شود برای اطلاعات بیشتر می توانید به صفحه زیر مراجعه بفرمایید

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٧:٢۳ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیاتاست. 

 

واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است

احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آن‌ها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

در آغاز هندسه بر پایهٔ دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه، مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیهٔ هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مساله‌ای به وسیلهٔ قضایا و حکم‌ها ثابت می‌گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به نام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آن‌ها را به طور منظم، در یک مجموعهٔ ۱۳ جلدی قرار داد. این کتاب‌ها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعهٔ هندسه به کار می‌رفتند.

بر اساس این قوانین، هندسهٔ اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌کنند.

خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آن‌ها احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م) و زنون (۴۹۰ ق. م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.

در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم کرد و جدولی بر اساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده‌است.

بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سدهٔ پنجم میلادی آپاستامبا، در سدهٔ ششم، آریابهاتا، در سدهٔ هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تقسیم‌بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

 

 

در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها، استوانه‌ها، مخروط‌ها، کره‌ها و غیره‌است.


[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٦:٥٦ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

هندسه زندگی

دلم میخواهد زندگی را از زاویه ای دیگر ببینم.

 

دوست دارم نگاه هندسی به زندگی داشته باشم و محیط پیرامون خود را با دیدی نو محاسبه کنم.

 

دلم میخواهد مساحت عمرم را بسنجم و به شخصیتم شکل مناسبی بدهم.

 میتوانم زندگی را مربعی فرض کنم که اضلاع ان را ایمان- هدف -امیدو عشق تشکیل داده اند یا مثلثی   

که زاویه های ان علم-ایمان و انسانیت باشد.

 میتوانم مرکز دایره حیاتم را انتخابهای خوب قرار دهم.

 چرا سطحی بیندیشم؟

 وقتی دوست دارم به افکار و زندگیم عمق دهم و میتوانم حجم معنویتم را افزون سازم.

 من میتوانم از نقطه های خط عمرم خطی مستقیم در جهت خوبی و مهربانی ترسیم کنم. 

من دلم میخواهد زندگیم بر قاعده پاکی استوار باشد.به موازات حق پیش بروم و زاویه دیدم باز باشد.

 وقتی این قدر توانایی دارم چرا شکل غیر منتظم باشم و از میان خطوط خط های شکسته و منحنی رابرگزینم؟

 

من میتوانم منشوری باشم شفاف که از هر سو جلوه ای خاص دارد.

 منشوری که نور را به راحتی تجزیه میکند و فضا را با رنگهای دلپذیر و جذاب محبت-امید-عشق-

عرفان و... می اراید!!!!!

 

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٦:٤٤ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

مَساحت یا رُویه تعیین‌کنندهٔ بزرگی یک سطح دوبعدی است، تمام سطح یا کف هر شکل هندسی را مساحت آن شکل گویند.

این سطح می‌تواند مربوط به یک شکل دوبعدی یا یک شکل سه‌بعدی باشد.

یکای مساحت بر پایهٔ سیستم SI متر مربع (m²) است و آن برابر مساحت مربعی با ضلع یک‌متر است.

در قدیم در ایران برای اندازه‌گیری مساحت از یکاهای بومی ایرانی مانند گریب (جریب) استفاده می‌شد. همچنین از واحدهای بزرگتری چون هکتار( معادل ۱۰۰۰۰ متر مربع )و کیلومترمربع برای اندازه گیری مساحت استفاده می‌شود. واحد ایکر در سیستم انگلیسی برای اندازه گیری سطح به کار می‌رود و هر ایکر برابر ۴۰۴۶٫۸۵۶۴۲ متر مربع می‌باشد.در مورد اندازه جریب نظرهای متفاوتی وجود دارد و در مناطق مختلف این اندازه متفاوت است.معمولا در گذشته هر جریب معادل با ۱۶۰۰ متر مربع بود.در ایران دوره صفویه، هر جریب معادل ۹۵۶ متر مربع بوده است.در دوره قاجار هر جریب تقریبا ۱۰۰۰متر مربع محاسبه میشده است. در سال ۱۳۰۲ محمدحسن خان صنیع الدوله پیشنهاد نمود اوزان و مقیاسهای سنتی ایران، از جمله جریب، با مقادیر متناسب آنها در نظامهای بین‌المللی برابر شود.بنابراین از ۱۳۰۲ به بعد ۱جریب معادل ۱هکتار در نظر گرفته شد.

فرمول های مساحت:
شکلفرمولمتغیر ها
مثلث متساوی الاضلاع \tfrac14\sqrt{3}s^2\,\! s طول یک ضلع مثلث است.
مثلث \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\! s نصف محیط, a, b و c طول هر ضلع هستند.
مثلث \tfrac12 a b \sin(C)\,\! a و b دوضلع دلخواه و C زاویه بین شان است.
مثلث \tfrac12bh \,\! b و h به ترتیب قاعده و ارتفاع هستند
مربع s^2\,\! s طول یک ضلع مربع است.
مستطیل lw \,\! l و w به ترتیب اندازه طول و عرض مستطیل هستند.
لوزی و متوازی الاضلاع \tfrac12ab a و b طول دو قطر متوازی الاضلاع یا لوزی هستند.
متوازی الاضلاع bh\,\! b طول قاعده و h ارتفاع عمود بر آن است.
ذوزنقه \tfrac12(a+b)h \,\! a و b طول دو ظلع موازی و h فاصله بین شان (ارتفاع) است.
شش ضلعی منتظم \tfrac32\sqrt{3}s^2\,\! s طول یکی از اضلاع است.
هشت ضلعی منتظم 2\left(1+\sqrt{2}\right)s^2\,\! s طول یکی از اضلاع است.
چند ضلعی منتظم \frac{ns^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)}\,\! s طول یک ضلع و n تعداد اضلاع است.
\tfrac12a p \,\! a شعاع دایره فرضی محیط بر چندضلعی و p محیط چندضلعی است.
دایره \pi r^2\ \text{یا}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\! r شعاع و d قطر است.
قطاع دایره \tfrac12 r^2 \theta \,\! r و θ به ترتیب شعاع و زاویه (برحسب رادیان) هستند.
بیضی \pi ab \,\! a و b دو قطر بیضی هستند.
مساحت کل یک استوانه 2\pi r (r + h)\,\! r و h به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند.
مساحت جانبی استوانه 2 \pi r h \,\! r و h به ترتیب شعاع و ارتفاع هستند.
مساحت کل مخروط \pi r (r + l) \,\! r و l به ترتیب شعاع و ارتفاع مخروط هستند.
مساحت جانبی مخروط \pi r l \,\! r و l به ترتیب شعاع و مولد مخروط هستند.
مساحت کل کره 4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\! r و d به ترتیب شعاع و قطر کره هستند.
مساحت کل کره بیضوی   مانند کره.
مساحت کل هرم B+\frac{P L}{2}\,\! B مساحت قاعده, P محیط قاعده و L ارتفاع عمود بر آن هستند.

 

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٢:٢٥ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

1) مساحت مـــربع = یـــک ضلع × خـــودش
محیــط مـــربــــع = یک ضلع × 4


2) مساحت مسـتطیـــــــل = طـول × عـرض
محیط مستطیل = ( طول + عرض) × 2


3) مساحت مثلث = ( قاعده × ارتــــــفاع ) ÷ 2
محیط مثلث = مجموع سه ضلع


4) مساحت مثلث متساوی الاضلاع = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
محیط مثلث متساوی الاضلاع = یک ضلع × 3


5) مساحت مثلث متساوی الساقین = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
محیط مثلث متساوی الساقین= مجموع سه ضلع


6) مساحت مثلث قائم الزاویه = ( قاعده × ارتفاع ) ÷ 2
محیط مثلث قائم الزاویه = مجموع سه ضلع


7) مساحت ذوزنقه = ( قاعده بزرگ + قاعده کوچک ) × نصف ارتفاع
محیط ذوزنقه = مجموع چهار ضلع


8) مساحت لوزی = ( قطر بزرگ × قطر کوچک ) ÷ 2
محیط لوزی = یک ضلع × 4

9) مساحت متوازی الاضلاع = قاعده × ارتفاع
محیط متوازی الاضلاع = مجموع دو ضلع متوالی × 2


10) مساحت دایره = عدد پی ( 14/3 ) × شعاع × شعاع
محیط دایره = عدد پی ( 14/3 ) × قطر


11) مساحت کره = 4 × 14/3 × شعاع به توان دو

حجم کره = چهار سوم × 14/3 × شعاع به توان سه



12) مساحت بیضی = (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک ) × 14/3


13 ) محیط چند ضلعی منتظم = یک ضلع × تعداد اضلاعش


14 ) حجم مکعب مستطیل = طـول × عـرض × ارتفاع
حجم مکعب مربع = قاعده × ارتفاع ( طول یال×مساحت یک وجه)


15 ) حجم هرم = مساحت قاعده ی هرم × ارتفاع هرم× یک سوم


16) مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع

سطح کل استوانه = سطح دو قاعده + مساحت جانبی ( مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × پیرامون قاعده )


17) مساحت جانبی منشور = مجموع مساحت سطوح جانبی
مساحت کلی منشور = مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی


18) حجم مخروط = مساحت قاعده × یک سوم × ارتفاع

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٢:۱٩ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

چند ضلعیها

تعریف چند ضلعی :
هر خط شکسته بسته را چند ضلعی می نامند . مثلث یک چند ضلعی (سه ضلعی) است. اگر یکی از زوایای داخلی چند ضلعی بزرگتراز 180 درجه باشد،چند ضلعی را مقعر و در غیر این صورت چند ضلعی را محدب می نامند.

 

نکته 1 :
مجموع اندازه های زوایای هر n ضلعی برابر با درجه است.
برای مثال ، مجموع اندازه های زوایای یک هفت ضلعی برابر با درجه است.

نکته 2 :
تعداد قطرهای هر n ضلعی محدب برابر با

½ (n)(n-3)

است.

نکته 3 :
در چند ضلعیهای منتظم با تعداداضلاع زوج، اضلاع مقابل بر هم ، با هم موازیند.

نکته 4 :
در هر چند ضلعی منتظم با تعداد اضلاع فرد، عمودمنصف هر ضلع ، نیمساز زاویه مقابل به آن ضلع است. که این عمود منصف (یا نیمساز) محور تقارن آن چند ضلعی است.

 

متوازی الاضلاع

چهار ضلعی است که هر دو ضلع آن موازی باشند. در متوازی الاضلاع، فاصله هر دو ضلع مقابل به هم را ارتفاع می نامند.

 

ویژگیهای متوازی الاضلاع

الف) در هر متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل با هم برابر هستند.

ب)درهر متوازی الاضلاع زاویه های مقابل برابرند و هر دو زاویه مجاور یک ضلع مکمل یکدیگرند. همچنین مجموع دو زاویه مجاور برابر 180 درجه است.

ج) در هر متوازی الاضلاع قطرها منصف یکدیگرند.

د) در هر متوازی الاضلاع نقطه تقاطع دو قطر مرکز تقارن آن شکل است.

ه‍) مساحت متوازی الاضلاع برابر با حاصلضرب قاعده در ارتفاع وارد بر آن است.

ز) در هر متوازی الاضلاع، نیمسازهای داخلی دو به دو بر هم عمودند.

 

لوزی

لوزی متوازی الاضلاعی است که چهار ضلع آن با هم برابر باشند. بنابراین لوزی کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع را دارد.

مساحت و محیط لوزی :
مساحت لوزی برابر نصف حاصلضرب اندازه های دو قطر است.

نکته 1 :
از هر لوزی یک دایره محاطی می گذرد.

کایت یا شبه لوزی ، چهار ضلعی محدبی است که دارای دو جفت اضلاع مجاور مساوی با دو اندازه مختلف باشد. در واقع کایت چهار ضلعی محدبی است که دارای دو قطر عمود بر هم باشد و فقط یکی از قطرها منصف قطر دیگر باشد. قطری که منصف قطر دیگر است، محور تقارن کایت و همچنین نیمساز دو زاویه مقابل است. مساحت کایت مانند مساحت لوزی محاسبه می شود.

 

مستطیل

مستطیل متوازی الاضلاعی است که یک زاویه آن قائمه باشد. بنابراین مستطیل کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع را داراست. خطی که وسط دو ضلع مقابل را به هم وصل کند محور تقارن مستطیل است. بنابراین مستطیل دو محور تقارن دارد.

نکته 1 :
مساحت مستطیل برابر حاصلضرب طول در عرض آن است.

نکته 2 :
بر مستطیل یک دایره محیطی می گذرد.

 

مربع

مربع مستطیلی است که چهار ضلع آن با هم مساوی باشد و یا می توان گفت ، مربع لوزی است که یک زاویه آن قائمه باشد. بنابراین مربع کلیه ویژگیهای متوازی الاضلاع، مستطیل و لوزی را دارد.

نکته 1 :
در هر مربع قطرها بر هم عمود و با هم برابر و هر کدام محور تقارن شکل هستند.

نکته 2 :
مربع چهار محور تقارن (به تعداد اضلاع) دارد. مربع یک چهار ضلعی منتظم است و کلید ویژگیهای چند ضلعی منتظم را داراست.
مساحت و محیط مربع : مساحت مربع برابر مجذوب یک ضلع است.

 

ذوزنقه

هر چهار ضلعی که فقط دو ضلع آن با هم موازی باشند، ذوزنقه نامیده می شود. دو ضلع موازی را قاعده ها، و دو ضلع غیرموازی را ساقها می نامند. اگر دو ساق ذوزنقه با هم مساوی باشند ذوزنقه را متساوی الساقین می نامند، اگر یکی از ساقها بر دو قاعده عمود باشد ذوزنقه را قائم الزاویه می نامند.

نکته 1 :
در هر ذوزنقه دو زاویه مجاوز بر هر ساق مکمل یکدیگرند.

نکته 2 :
در هر ذوزنقه متساوی الساقین دو قطر با هم و همچنین دو زاویه مجاور به هر قاعده با هم برابر هستند.

نکته 3 :
پاره خطی که دو سر آن وسط های دو ساق ذوزنقه باشد، موازی دو قاعده آن ذوزنقه و اندازه آن برابر نصف مجموع اندازه های دو قاعده ذوزنقه است.

مساحت ذوزنقه :
مساحت ذوزنقه با نصف حاصلضرب مجموع دو قاعده درارتفاع آن برابر است.


چهار ضلعی های محیطی
چهار ضلعی محیطی چهار ضلعی است که اضلاع آن بر یک دایره مماس باشند.

نکته 1 :
درهر چهار ضلعی محیطی مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر برابر است.


چهارضلعی های محاطی
چهار ضلعی محاطی چهار ضلعی است که رأسهای آن بر یک دایره واقع باشد.

نکته 1 :
در هر چهار ضلعی محاطی مجموع دو زاویه مقابل 180 درجه است.

 


[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ٢:٠۱ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ۱:٥٥ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ۱:٥٤ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ۱:٤٧ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

 

[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ۱:۳٩ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

فصل ۱ : هندسه و استدلال

استدلال در هندسه

استدلال استقرایی

روش نتیجه گیری بر مبنای مجموعه ی محدودی از مشاهده ها را استدلال استقرایی می گویند.

استدلال استنتاجی

روش نتیجه گیری کلی بر مبنای حقایقی است که درستی آنها را پذیرفته ایم.

 

فاوت میان استدلال استقرایی و استدلال استنتاجی

 

نتایجی که از استدلال استقرایی بدست می آید اثبات نمی کند اما نتایجی که از استدلال استنتاجی بدست می آید کاملاً درست می باشند.

 

اصول موضوع

 

آن دسته از گزاره هایی را که بدون اثبات می پذیریم اصول موضوع می گویند.مانند:

 

۱- از هر دو نقطه متمایز یک خط راست می گذرد

 

۲- از هر سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست تنها یک صفحه عبور می کند

 

۳- از یک نقطه خارج از خط تنها یک خط به موازات آن می توان رسم کرد.

 

اصول بدیهی

 

به اصولی گفته می شود که نیاز به اثبات ندارد و با منطق عمل موافقت دارد. مانند:

 


ادامه مطلب
[ ۱۳٩٠/۸/٢٩ ] [ ۱:٢٤ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]

[ ۱۳٩٠/۸/٢٧ ] [ ۳:٥٧ ‎ب.ظ ] [ مریم ترکمن و فاطمه قائمی پناهیان ]
........

.: Weblog Themes By Iran Skin :.

درباره وبلاگ

صفحات اختصاصی
امکانات وب
RSS Feed